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谁能用简单易懂的方法帮我解释一下“罗素悖论”

发布时间:2019-05-20 11:48 来源:未知 编辑:admin

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  2014-03-14展开全部因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是村里不属于自身的那些集合,并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

  十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称:“………借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

  可是,好景不长。1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂,而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以,罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时,收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现,自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

  1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为它们的基础。到19世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果,特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论,它极为简单、明确、通俗。于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机”。

  罗素悖论提出,危机产生后,数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年,策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外,集合论的公理系统还有多种,如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立,成功排除了集合论中出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面,罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争,形成了现代数学史上著名的三大数学流派,而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

  以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过,从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说:“提出问题就是解决问题的一半”,而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说:“解决我,不然我将吞掉你的体系!”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样:“必须承认,在这些悖论面前,我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话,那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中,各种理论应运而生了:第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展,这或许就是数学悖论重要意义之所在吧,而罗素悖论在其中起到了重要的作用。

  理性不能回答关于其自身的问题,这个问题在康德时期就发现了。逻辑存在无法弥补的漏洞,却是人了解世界的唯一途径。到头来你会发现,不是否定理性就是否定信仰。因为所谓唯心唯物之争都是建立在这样不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。既然理性无法对其自身做出判断,那么选择立场就不能以理性为依据,从而变成一种实质上的迷信。当然如果你坚持要说自己的立场是合乎所谓的科学或实践的,那么其实你既不属于唯物也不属于唯心,本质上只是一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。当然,这里的逻辑主义当然不是罗素的那个,只是一个形象点的称呼而已。

  思考这个问题的动机原是这样:是否所有能导致两难推理的悖论(包括一些所谓的语义学悖论)都有相同结构?如果不是,能不能把它们按照逻辑结构来分类?从而能够更加清晰地看清每一类悖论产生的根源。比如罗素悖论,用符号表示出来,就可看出,它用了这样一个定义模式:x是S的,如果x不是x的。(稍微严格一点写成这样:xRS,如果 非xRx.R为一个二元谓词。)而在定义S时,S本身又可以用它自己的定义来判定,即可以把定义中的x换成S,导致这样一个语句:S是S的,如果S不是S的。注意在定义中的两个语句互为充要条件,所以原来的定义中就蕴含了一个“P等价于非P”的结论,从而导致两难推理。这种定义模式本身是逻辑中的漏洞,康托的朴素集合论正因为没有防范的机制而陷入了这个逻辑漏洞,才导致了集合论形式的罗素悖论。

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